Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} + 5 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 5 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + 5 \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + 5)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x}$

Etapa 3.2

Fatore $x$ de $x^{2} + 5 x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x \cdot x + 5 x}$

Etapa 3.2.2

Fatore $x$ de $5 x$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 5}$

Etapa 3.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x (x + 5)}$

Etapa 3.3

Multiplique $2 x + 5$ por $\frac{1}{x (x + 5)}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x + 5)}$