Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} \sin (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} \sin (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Etapa 5.2.4

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\cot (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Etapa 5.2.5

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)} (2 x)$

Etapa 5.2.6

Combine $2$ e $\frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} x$

Etapa 5.2.7

Combine $\frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ e $x$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Etapa 5.2.8.2

Reescreva a expressão.

$\cot (x) + \frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.9.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 5.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.9.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 5.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 5.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\cot (x) + \frac{2}{x}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{2}{x} + \cot (x)$