Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{e}{e - x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{e}{e - x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{e}{e - x}$ .

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{e - x}{e}$ por $1$ .

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Etapa 3.2

Como $e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e}{e - x}$ em relação a $x$ é $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ .

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $e$ e $\frac{e - x}{e}$ .

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $e$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Etapa 3.3.2.2

Divida $e - x$ por $1$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{1}{e - x}$ como ${(e - x)}^{- 1}$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = e - x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $e - x$ .

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e - x$ .

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Etapa 5

Eleve $e - x$ à potência de $1$ .

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

Etapa 7

Subtraia $2$ de $1$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 9

Como $e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Multiplique.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12.2

Multiplique ${(e - x)}^{- 1}$ por $1$ .

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

Etapa 14

Multiplique ${(e - x)}^{- 1}$ por $1$ .

${(e - x)}^{- 1}$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e - x}$

Etapa 15.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{- x + e}$

Etapa 15.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{1}{- (x) + e}$

Etapa 15.4

Fatore $- 1$ de $e$ .

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

Etapa 15.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- e)$ .

$\frac{1}{- (x - e)}$

Etapa 15.6

Reescreva $- (x - e)$ como $- 1 (x - e)$ .

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

Etapa 15.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x - e}$