Cálculo Exemplos

$\ln (\sin (3 x) + e^{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (3 x) + e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (3 x) + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (3 x) + e^{x}$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (3 x) + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 4.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cdot \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$ .

$(3 \cos (3 x) + e^{x}) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Etapa 6.3

Multiplique $3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ .

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ e $3$ .

$\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}} \cos (3 x) + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}}$ e $\cos (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Etapa 6.4

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + \frac{e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Etapa 6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \cos (3 x) + e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$