Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{1}{\ln (x)})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{\ln (x)}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$1 \ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{\ln (x)}$ como $\ln^{- 1} (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\ln (x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (x)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 5

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$- (\ln^{1} (x) \ln^{- 2} (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- {\ln (x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 7

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \ln^{- 1} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 8

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- \ln^{- 1} (x) \frac{1}{x}$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln^{- 1} (x)$ .

$- \frac{\ln^{- 1} (x)}{x}$

Etapa 9.2

Mova $\ln^{- 1} (x)$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x \ln (x)}$