Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{30}{x}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{30}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{30}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.2

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{30}{x}$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $30$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (- 30 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.6

Combine $- 30$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.7

Combine $\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{- 30 x^{- 2}}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.8

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \arctan (\frac{10}{x})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{10}{x}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\arctan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Etapa 3.3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10}{x}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 (- x^{- 2})))$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (- 10 x^{- 2}))$

Etapa 3.7

Combine $- 10$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} x^{- 2})$

Etapa 3.8

Combine $\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10 x^{- 2}}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$

Etapa 3.9

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - - \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 3.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + 1 \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 3.12

Multiplique $\frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{30}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5

Combine os termos.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.2

Eleve $30$ à potência de $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{900}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.4.2

Divida $900$ por $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.6

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.7

Combine $\frac{100}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 4.5.8

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.5.8.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 4.5.8.2

Divida $100$ por $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Etapa 4.5.9

Para escrever $- \frac{30}{x^{2} + 900}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Etapa 4.5.10

Para escrever $\frac{10}{x^{2} + 100}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Etapa 4.5.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.5.11.1

Multiplique $\frac{30}{x^{2} + 900}$ por $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Etapa 4.5.11.2

Multiplique $\frac{10}{x^{2} + 100}$ por $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.5.11.3

Reordene os fatores de $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.5.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 30 (x^{2} + 100) + 10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.6

Reordene os termos.

$\frac{10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Fatore $10$ de $10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)$ .

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Etapa 4.7.1.1

Fatore $10$ de $- 30 (x^{2} + 100)$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.1.2

Fatore $10$ de $10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 3 \cdot 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.3

Multiplique $- 3$ por $100$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.4

Subtraia $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 900 - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.5

Subtraia $300$ de $900$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.6

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 600$ .

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Etapa 4.7.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.6.2

Fatore $2$ de $600$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 2 (300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.6.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (300)$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2} + 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

$\frac{10 \cdot 2 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.7.7

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{20 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.9

Reescreva $300$ como $- 1 (- 300)$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (- 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 300)$ .

$\frac{20 (- (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.11

Reescreva $- (x^{2} - 300)$ como $- 1 (x^{2} - 300)$ .

$\frac{20 (- 1 (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20 (x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$