Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 \sqrt{7 x^{2} + 5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7 x^{2} + 5}$ como ${(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 5$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x^{2} + 5$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x^{2} + 5$ .

$8 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(7 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\frac{{(7 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 9

Mova ${(7 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{1}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $8$ .

$\frac{8}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Etapa 11

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Etapa 12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1

Fatore $2$ de $2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 ({(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Etapa 13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 14

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 16

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (14 x + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 17

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (14 x + 0)$

Etapa 18

Combine frações.

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Etapa 18.1

Some $14 x$ e $0$ .

$\frac{4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (14 x)$

Etapa 18.2

Combine $14$ e $\frac{4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{14 \cdot 4}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 18.3

Multiplique $14$ por $4$ .

$\frac{56}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 18.4

Combine $\frac{56}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{56 x}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$