Cálculo Exemplos

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Etapa 2

Reordene $e^{u}$ e $\cos (u)$ .

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Etapa 3

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \cos (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Etapa 5.2

Multiplique $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ por $1$ .

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Etapa 5.3

Reordene $e^{u}$ e $\sin (u)$ .

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \sin (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Etapa 7

Ao resolver $\int e^{u} \cos (u) d u$ , descobrimos que $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Etapa 8

Reescreva $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Etapa 10.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$