Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (\arctan (\ln (x)))$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \ln (x))$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\ln (x))$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \ln (x))$ . Portanto, $\cos (\arctan (\ln (x)))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}$ como ${(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3

Reescreva $\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.4

Multiplique os expoentes em ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + \ln^{2} (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 7.2.2

Mova ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 7.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 7.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 9.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 9.3

Combine $\ln (x)$ e $\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot - 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 9.4

Mova $- 2$ para a esquerda de $\ln (x)$ .

$\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 9.5

Fatore $2$ de $- 2 \ln (x)$ .

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.1

Fatore $2$ de $2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 ({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 12

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 13

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$