Cálculo Exemplos

$f (x) = x \ln (1 + x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Combine $2$ e $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6.2

Combine $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1$

Etapa 9

Multiplique $\ln (1 + x^{2})$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2})$

Etapa 10

Para escrever $\ln (1 + x^{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Etapa 11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 12.1.1.2

Multiplique $\ln (1 + x^{2})$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 12.1.2

Reordene os fatores em $2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + x^{2} \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Etapa 12.2

Reordene os termos.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$