Cálculo Exemplos

$f (x) = x \cos (\ln (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (\ln (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))] + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$x (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x (- \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sin (\ln (x))$ .

$x (- \frac{\sin (\ln (x))}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $x$ e $\frac{\sin (\ln (x))}{x}$ .

$- \frac{x \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{x \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.2.2

Divida $\sin (\ln (x))$ por $1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x)) \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $\cos (\ln (x))$ por $1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$