Cálculo Exemplos

$f (x) = x \cos (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})] + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Multiplique.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\sin (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$x (\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{- 2} x^{1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{- 2 + 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Some $- 2$ e $1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \cdot 1$

Etapa 8

Multiplique $\cos (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x} + \cos (\frac{1}{x})$