Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (4 x^{2} + 3 x - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 + 0)$

Etapa 2.9

Some $8 x + 3$ e $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3)$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1}$

Etapa 3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + 3 (x) - 1}$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + (- 1 + 4) x - 1}$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} - 1 x + 4 x - 1}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(8 x + 3) \frac{1}{(4 x^{2} - 1 x) + 4 x - 1}$

Etapa 3.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(8 x + 3) \frac{1}{x (4 x - 1) + 1 (4 x - 1)}$

Etapa 3.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 1$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{(4 x - 1) (x + 1)}$

Etapa 3.3

Multiplique $8 x + 3$ por $\frac{1}{(4 x - 1) (x + 1)}$ .

$\frac{8 x + 3}{(4 x - 1) (x + 1)}$