Cálculo Exemplos

$x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Etapa 2.6

Some $2 x$ e $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Etapa 2.7

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Etapa 2.8

Combine $\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.9

Combine $- 6$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine os termos.

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Etapa 3.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$