Cálculo Exemplos

$y = x^{2} \sec (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (\frac{1}{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{1}{x})] + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (u)$ em relação a $u$ é $\sec (u) \tan (u)$ .

$x^{2} (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{- 2 + 2} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3

Some $- 2$ e $2$ .

$x^{0} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique $x^{0} (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ .

$\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})$ .

$- 1 \cdot (\sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x})) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.3

Reescreva $- 1 \sec (\frac{1}{x})$ como $- \sec (\frac{1}{x})$ .

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + \sec (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + \sec (\frac{1}{x}) (2 x)$

Etapa 7

Reordene os termos.

$- \sec (\frac{1}{x}) \tan (\frac{1}{x}) + 2 x \sec (\frac{1}{x})$