Cálculo Exemplos

$y = (x^{2} - 1) (x^{3} + 3)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{3} + 3$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3] + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 1$ .

$3 \cdot (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x + 0)$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x)$

Etapa 2.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3} + 3$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + 2 \cdot (x^{3} + 3) x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} + 3 \cdot - 1) x^{2} + 2 (x^{3} + 3) x$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 (x^{3} + 3) x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + (2 x^{3} + 2 \cdot 3) x$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.1

Mova $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Etapa 3.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Etapa 3.5.1.3

Some $2$ e $2$ .

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Etapa 3.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot 3 x$

Etapa 3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 3} + 2 \cdot 3 x$

Etapa 3.5.5

Some $1$ e $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{4} + 2 \cdot 3 x$

Etapa 3.5.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{4} + 6 x$

Etapa 3.5.7

Some $3 x^{4}$ e $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 3 x^{2} + 6 x$