Cálculo Exemplos

$y = (\sqrt[9]{x} - \frac{9}{x})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[9]{x}$ como $x^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}} - \frac{9}{x}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{9}} - \frac{9}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Etapa 7.2

Subtraia $9$ de $1$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Etapa 9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{9}{x}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 10

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 (- x^{- 2})$

Etapa 12

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + 9 x^{- 2}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 9 x^{- 2}$

Etapa 13.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 9 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 13.3

Combine os termos.

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Etapa 13.3.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + 9 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 13.3.2

Combine $9$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 13.4

Reordene os termos.

$\frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$