Cálculo Exemplos

$y = (x^{2} - 2 x + 2) e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ e $g (x) = e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x}{2}}] + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{5 x}{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{5 x}{2}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}]) + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}]) + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{5 x}{2}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) (e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}]) + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $\frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{\frac{5 x}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{2} - 2 x + 2$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2 + 0)$

Etapa 3.11

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 2 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x - 2)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 2 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 2 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x \frac{- 2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.3

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x \frac{- 10 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.4

Combine $x$ e $\frac{- 10 e^{\frac{5 x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{x (- 10 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $- 10$ e $2$ .

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Etapa 4.3.5.1

Fatore $2$ de $x (- 10 e^{\frac{5 x}{2}})$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{2 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}))}{2} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{2 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}))}{2 (1)} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{2 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}))}{2 \cdot 1} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + \frac{x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}})}{1} + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.5.2.4

Divida $x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}})$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + 2 \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.6

Combine $2$ e $\frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.7

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{10 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.8

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

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Etapa 4.3.8.1

Fatore $2$ de $10 e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2 (1)} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{2 (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + \frac{5 e^{\frac{5 x}{2}}}{1} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.8.2.4

Divida $5 e^{\frac{5 x}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + 5 e^{\frac{5 x}{2}} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{2}} \cdot - 2$

Etapa 4.3.9

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{2}}) + 5 e^{\frac{5 x}{2}} + e^{\frac{5 x}{2}} (2 x) - 2 \cdot e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 4.3.10

Mova $e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 5 \cdot x e^{\frac{5 x}{2}} + 2 x e^{\frac{5 x}{2}} + 5 e^{\frac{5 x}{2}} - 2 e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 4.3.11

Some $- 5 x e^{\frac{5 x}{2}}$ e $2 x e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 3 x e^{\frac{5 x}{2}} + 5 e^{\frac{5 x}{2}} - 2 e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 4.3.12

Subtraia $2 e^{\frac{5 x}{2}}$ de $5 e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 3 x e^{\frac{5 x}{2}} + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Reescreva.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{2}})}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 4.5.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{x^{2} \cdot 5 e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 4.5.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$

Etapa 4.6

Reordene os fatores em $\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 3 e^{\frac{5 x}{2}} x + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{2}}}{2} - 3 x e^{\frac{5 x}{2}} + 3 e^{\frac{5 x}{2}}$