Cálculo Exemplos

$y = (x^{2} - 6 x) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 6 x$ e $g (x) = x^{2} + 9 x$ .

$(x^{2} - 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x] + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + \frac{d}{d x} [9 x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 2.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9 \cdot 1) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 2.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 2.8

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6 \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Fatore $1$ de $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $1$ de $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9)$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Etapa 3.1.2

Fatore $1$ de $(x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + 1 ((x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$

Etapa 3.1.3

Fatore $1$ de $1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + 1 ((x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$

Etapa 3.2

Multiplique $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ por $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$(2 x + 9) (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $(2 x + 9) (x^{2} - 6 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (x^{2} - 6 x) + 9 (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 6 x) + 9 (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 1} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 x \cdot x + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.1

Mova $x$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x \cdot x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{2} + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $9$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x^{2} - 54 x + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.2.2

Some $- 12 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.3

Expanda $(2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x (x^{2} + 9 x) - 6 (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (9 x) - 6 (x^{2} + 9 x)$

Etapa 3.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 (x^{2} x) + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{2 + 1} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 x \cdot x - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.4.1.3.1

Mova $x$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 (x \cdot x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4.1.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Etapa 3.4.4.1.5

Multiplique $9$ por $- 6$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x^{2} - 54 x$

Etapa 3.4.4.2

Subtraia $6 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 12 x^{2} - 54 x$

Etapa 3.5

Some $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 12 x^{2} - 54 x$

Etapa 3.6

Some $- 3 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 9 x^{2} - 54 x - 54 x$

Etapa 3.7

Subtraia $54 x$ de $- 54 x$ .

$4 x^{3} + 9 x^{2} - 108 x$