Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})]$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \arcsin (\frac{1}{x})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})]$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Etapa 3.2

A derivada de $\arcsin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2}))$

Etapa 4.3

Combine frações.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + 1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ por $1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

Etapa 4.3.3

Combine $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ e $x^{- 2}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}})$

Etapa 4.3.4

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

Etapa 5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}})$

Etapa 6.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}})$