Cálculo Exemplos

$y = (x - 1) \ln (x - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + 0)$

Etapa 3.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \cdot 1$

Etapa 3.8.2

Multiplique $\ln (x - 1)$ por $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

Etapa 3.8.3

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 3.8.3.1

Cancele o fator comum.

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

Etapa 3.8.3.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x - 1)$