Cálculo Exemplos

$y = (5 x^{2} - 7) (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{2} - 7$ e $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$(5 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1] + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(5 x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 7) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 + 0) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.9

Some $6 x - 2$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.13

Multiplique $2$ por $5$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.14

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x + 0)$

Etapa 2.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.15.1

Some $10 x$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x)$

Etapa 2.15.2

Mova $10$ para a esquerda de $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + 10 \cdot (3 x^{2} - 2 x + 1) x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1