Cálculo Exemplos

$\tan (e^{x}) + e^{\tan (x)}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (e^{x}) + e^{\tan (x)}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\tan (e^{x})] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (e^{x})] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{x}$ .

$\sec^{2} (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + e^{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + e^{\tan (x)} \sec^{2} (x)$

Etapa 4

Reordene os termos.

$e^{x} \sec^{2} (e^{x}) + e^{\tan (x)} \sec^{2} (x)$