Cálculo Exemplos

$\sin (4 x) \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (4 x)$ e $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\sin (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (4 x)$ .

$2 \cdot \sin (4 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \sin (4 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 6.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Etapa 7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) \cdot 4$

Etapa 7.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\cos^{2} (x) \cos (4 x)$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + 4 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (4 x))$

Etapa 7.3.3

Reordene os termos.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (4 x) + 4 \cos^{2} (x) \cos (4 x)$