Cálculo Exemplos

$\sin (2 x) \sec (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (2 x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os termos.

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.4.2

Divida $2 \sin (x)$ por $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.5

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.6

Multiplique $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 5.2.6.1

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.6.2

Combine $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.6.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.6.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.6.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Etapa 5.2.7

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Etapa 5.2.8.1

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

Etapa 5.2.8.2

Combine $\frac{2}{\cos (x)}$ e $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.2

Separe as frações.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.4

Divida $2 (\sin (x))$ por $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.5

Separe as frações.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.6

Reescreva $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ como um produto.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 5.3.7

Escreva $\cos (2 x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 5.3.8

Simplifique.

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Etapa 5.3.8.1

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 5.3.8.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

Etapa 5.3.9

Divida $2$ por $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$