Cálculo Exemplos

$\tan (x) (4 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 5 \cos (x)] + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\tan (x) (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \cos (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 (- \sin (x))) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 7

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 8.3

Mova $4$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$4 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$4 \cos (x) \tan (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.5.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.5.1.1

Adicione parênteses.

$4 (\cos (x) \tan (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.1.2

Reordene $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$4 (\tan (x) \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.1.3

Reescreva $4 \cos (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.1.4

Cancele os fatores comuns.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.3

Multiplique $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 8.5.3.1

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $- 5$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.3.2

Combine $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.3.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.3.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.3.6

Some $1$ e $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.5

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.8

Combine $4$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.9

Combine $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 8.5.10

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Etapa 8.5.11

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Etapa 8.5.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Etapa 8.5.13

Combine $5$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Etapa 8.5.14

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.5.14.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Etapa 8.5.14.2

Cancele o fator comum.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Etapa 8.5.14.3

Reescreva a expressão.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x)}$

Etapa 8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x) + 5}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.7

Reordene $- 5 \sin^{2} (x)$ e $5$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.8

Fatore $5$ de $5$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.9

Fatore $5$ de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.10

Fatore $5$ de $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.11

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.12

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

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Etapa 8.12.1

Fatore $\cos (x)$ de $5 \cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.12.2.1

Multiplique por $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.12.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.12.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos (x)}{1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.12.2.4

Divida $5 \cos (x)$ por $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8.13

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.13.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 8.13.2

Separe as frações.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8.13.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \tan (x)$

Etapa 8.13.4

Separe as frações.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Etapa 8.13.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \sec (x) \tan (x)$

Etapa 8.13.6

Divida $4$ por $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$