Cálculo Exemplos

$\ln (2 x^{0.5})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x^{0.5}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{0.5}$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{0.5}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}])$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 x^{0.5}}$ .

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 0.5$ .

$\frac{1}{x^{0.5}} (0.5 x^{- 0.5})$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Combine $0.5$ e $\frac{1}{x^{0.5}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5}} x^{- 0.5}$

Etapa 2.4.2

Combine $\frac{0.5}{x^{0.5}}$ e $x^{- 0.5}$ .

$\frac{0.5 x^{- 0.5}}{x^{0.5}}$

Etapa 2.4.3

Mova $x^{- 0.5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5} x^{0.5}}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Multiplique $x^{0.5}$ por $x^{0.5}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{0.5}{x^{0.5 + 0.5}}$

Etapa 3.1.2

Some $0.5$ e $0.5$ .

$\frac{0.5}{x^{1}}$

Etapa 3.2

Simplifique $x^{1}$ .

$\frac{0.5}{x}$