Cálculo Exemplos

$\ln (6 x - \cos (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x - \cos (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x - \cos (x)$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Etapa 2.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Etapa 2.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 - \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 - - \sin (x))$

Etapa 4

Multiplique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + 1 \sin (x))$

Etapa 4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \sin (x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \sin (x))$ .

$(6 + \sin (x)) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \frac{1}{6 x - \cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Etapa 5.3

Combine $6$ e $\frac{1}{6 x - \cos (x)}$ .

$\frac{6}{6 x - \cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Etapa 5.4

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{6 x - \cos (x)}$ .

$\frac{6}{6 x - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{6 x - \cos (x)}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 + \sin (x)}{6 x - \cos (x)}$