Cálculo Exemplos

$\ln (\csc (5 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \csc (5 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (5 x)$ .

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Etapa 2

Reescreva $\csc (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Etapa 4

Multiplique $\sin (5 x)$ por $1$ .

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 5.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

Etapa 6.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reordene os fatores de $\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ .

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

Etapa 7.2

Reescreva $\cot (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Etapa 7.3

Combine $- 5$ e $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Etapa 7.5

Reescreva $\csc (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

Etapa 7.6

Multiplique $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

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Etapa 7.6.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (5 x)}$ por $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Etapa 7.6.2

Eleve $\sin (5 x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Etapa 7.6.3

Eleve $\sin (5 x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

Etapa 7.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

Etapa 7.6.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Etapa 7.7

Cancele o fator comum de $\sin (5 x)$ .

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Etapa 7.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ para o numerador.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Etapa 7.7.2

Fatore $\sin (5 x)$ de $\sin^{2} (5 x)$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Etapa 7.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Etapa 7.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Etapa 7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Etapa 7.9

Separe as frações.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Etapa 7.10

Converta de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ em $\cot (5 x)$ .

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

Etapa 7.11

Divida $5$ por $1$ .

$- (5 \cot (5 x))$

Etapa 7.12

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 \cot (5 x)$