Cálculo Exemplos

$\ln (\sec (\frac{2}{x}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (\frac{2}{x})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (\frac{2}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (\frac{2}{x})$ .

$\frac{1}{\sec (\frac{2}{x})} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Etapa 2

Reescreva $\sec (\frac{2}{x})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$1 \cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Etapa 4

Multiplique $\cos (\frac{2}{x})$ por $1$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{2}{x}$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{2}{x}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Etapa 5.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{2}{x}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 6.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 7.2

Combine os termos.

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Etapa 7.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{- 2}{x^{2}}$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{2}{x^{2}})$

Etapa 7.2.3

Combine $\cos (\frac{2}{x})$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}})$

Etapa 7.2.4

Combine $\sec (\frac{2}{x})$ e $\frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}})$

Etapa 7.2.5

Combine $\tan (\frac{2}{x})$ e $\frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2))}{x^{2}}$

Etapa 7.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (2 \cdot \cos (\frac{2}{x})))}{x^{2}}$

Etapa 7.2.7

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (2 \cdot \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x}))}{x^{2}}$

Etapa 7.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $\tan (\frac{2}{x})$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3.2

Reescreva $\sec (\frac{2}{x})$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 7.3.3.1

Combine $2$ e $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3.3.2

Multiplique $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ por $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3.3.3

Eleve $\cos (\frac{2}{x})$ à potência de $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3.3.4

Eleve $\cos (\frac{2}{x})$ à potência de $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos^{1} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{{\cos (\frac{2}{x})}^{1 + 1}} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Etapa 7.3.3.7

Combine $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ e $\cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Etapa 7.3.4

Reduza a expressão $\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 7.3.4.1

Fatore $\cos (\frac{2}{x})$ de $2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Etapa 7.3.4.2

Fatore $\cos (\frac{2}{x})$ de $\cos^{2} (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Etapa 7.3.4.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Etapa 7.3.4.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 7.5

Combine.

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

Etapa 7.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

Etapa 7.7

Separe as frações.

$- (\frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})})$

Etapa 7.8

Converta de $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ em $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- (\frac{2}{x^{2}} \tan (\frac{2}{x}))$

Etapa 7.9

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x})}{x^{2}}$