Cálculo Exemplos

$\ln (\sec (3 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2

Reescreva $\sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 4

Multiplique $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 5.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Etapa 6.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1.1

Adicione parênteses.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Etapa 7.1.2

Reordene $\cos (3 x)$ e $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Etapa 7.1.3

Reescreva $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Etapa 7.1.4

Cancele os fatores comuns.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Etapa 7.3

Reescreva $\tan (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 7.4

Combine $3$ e $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 7.5

Separe as frações.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 7.6

Converta de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ em $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Etapa 7.7

Divida $3$ por $1$ .

$3 \tan (3 x)$