Cálculo Exemplos

$\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.3

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \cos (x))$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\csc (x) \cos (x) - 2 (\frac{1}{2}) (\sin (x) \cos (x))$

Etapa 3.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2}{2} (\sin (x) \cos (x))$

Etapa 3.6

Combine $\sin (x)$ e $\frac{- 2}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2}{2} \cos (x)$

Etapa 3.7

Combine $\frac{\sin (x) \cdot - 2}{2}$ e $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2 \cos (x)}{2}$

Etapa 3.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{2}$

Etapa 3.9

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 3.9.1

Fatore $2$ de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2}$

Etapa 3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 (1)}$

Etapa 3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) \cos (x)}{1}$

Etapa 3.9.2.4

Divida $- \sin (x) \cos (x)$ por $1$ .

$\csc (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$\cos (x) \csc (x) - \cos (x) \sin (x)$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Etapa 4.2.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Etapa 4.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\cot (x) - \cos (x) \sin (x)$