Cálculo Exemplos

$\log (\log (100000^{200 x}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \log (100000^{200 x})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\log (100000^{200 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\log (100000^{200 x})$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = 100000^{200 x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $100000^{200 x}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\log (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $100000^{200 x}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Etapa 3

Multiplique $\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10)}$ por $\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)}$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10) (\log (100000^{200 x}) \ln (10))} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Etapa 4

Eleve $\ln (10)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} (\ln^{1} (10) \ln (10)) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Etapa 5

Eleve $\ln (10)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} (\ln^{1} (10) \ln^{1} (10)) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{100000^{200 x} {\ln (10)}^{1 + 1} \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 100000^{x}$ e $g (x) = 200 x$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $200 x$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (\frac{d}{d u_{3}} [100000^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [200 x])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $100000$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (100000^{u_{3}} \ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $200 x$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (100000^{200 x} \ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Combine $100000^{200 x}$ e $\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (\ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

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Etapa 9.2.1

Combine $\ln (100000)$ e $\frac{100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{\ln (100000) \cdot 100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum de $100000^{200 x}$ .

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (100000) \cdot 100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Etapa 9.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Etapa 9.3

Como $200$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $200 x$ em relação a $x$ é $200 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (200 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.4

Combine $200$ e $\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \cdot 1$

Etapa 9.6

Multiplique $\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ por $1$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Expanda $\log (100000^{200 x})$ movendo $200 x$ para fora do logaritmo.

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) (200 x \log (100000))}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $200$ .

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Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) (200 x \log (100000))}$

Etapa 10.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) (x \log (100000))}$

Etapa 10.3

A base do logaritmo $10$ de $100000$ é $5$ .

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) x \cdot 5}$

Etapa 10.4

Mova $5$ para a esquerda de $\ln^{2} (10) x$ .

$\frac{\ln (100000)}{5 \cdot (\ln^{2} (10) x)}$

Etapa 10.5

Reordene os fatores em $\frac{\ln (100000)}{5 \ln^{2} (10) x}$ .

$\frac{\ln (100000)}{5 x \ln^{2} (10)}$