Cálculo Exemplos

$\sec (\frac{1}{2} x) \tan (\frac{1}{2} x)$

Etapa 1

Combine frações.

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Etapa 1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{1}{2} x)]$

Etapa 1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (\frac{x}{2})$ e $g (x) = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{x}{2}$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{2}$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 4

Eleve $\sec (\frac{x}{2})$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{1} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sec (\frac{x}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Some $2$ e $1$ .

$\sec^{3} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 6.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{3} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec^{3} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1 + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 7.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 8

Eleve $\tan (\frac{x}{2})$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{1} (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 9

Eleve $\tan (\frac{x}{2})$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{1} (\frac{x}{2}) \tan^{1} (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + {\tan (\frac{x}{2})}^{1 + 1} (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 11

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{2} (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Combine frações.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2})}{2} \sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.2

Combine $\frac{\tan^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ e $\sec (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Etapa 15

Multiplique $\frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2}$