Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Fatore $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 4) x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (x - 4)]$

Etapa 4.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x - 4)]$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (x - 4)]$

Etapa 4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x - 4)]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x - 4)]$

Etapa 4.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 4)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 4$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6.4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 13

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Combine os termos.

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Etapa 14.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.2.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 14.2.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.5

Fatore $2$ de $- 4$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.2.6.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.2.6.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.6.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.8

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.9

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.11

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.12

Some $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$