Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{12 x^{2} - 1 x + 2}{3 x + 2}$

Etapa 1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - x + 2}{3 x + 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 12 x^{2} - x + 2$ e $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [12 x^{2} - x + 2] - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $12$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 + 0) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.9

Some $24 x - 1$ e $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.13

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.15.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.15.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - 3 (12 x^{2} - x + 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Expanda $(3 x + 2) (24 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (24 x - 1) + 2 (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$\frac{72 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.5

Multiplique $24$ por $2$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 48 x + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 48 x - 2 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.2

Some $- 3 x$ e $48 x$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} + 3 x - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} + 3 x - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $36 x^{2}$ de $72 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{2} + 45 x - 2 + 3 x - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Some $45 x$ e $3 x$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 2 - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $6$ de $- 2$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Fatore $4$ de $36 x^{2} + 48 x - 8$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $4$ de $36 x^{2}$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 48 x - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Fatore $4$ de $48 x$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $4$ de $- 8$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.4

Fatore $4$ de $4 (9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.5

Fatore $4$ de $4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x - 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$