Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\cot (2 x)}{\csc (5 x)}$

Etapa 1

Reescreva $\csc (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

Etapa 2

Reescreva $\cot (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

Etapa 4

Escreva $\sin (5 x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{1}]$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Divida $\sin (5 x)$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

Etapa 5.2

Converta de $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ em $\cot (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (2 x) \sin (5 x)]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot (2 x)$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Etapa 7.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cot (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$\cot (2 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Etapa 8.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Etapa 8.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $\cot (2 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (\cot (2 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 9.2

A derivada de $\cot (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 10

Diferencie.

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Etapa 10.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)$

Etapa 10.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reordene os termos.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Etapa 11.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1

Reescreva $\cot (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Etapa 11.2.2

Multiplique $5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

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Etapa 11.2.2.1

Combine $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ e $5$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)} \cos (5 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Etapa 11.2.2.2

Combine $\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)}$ e $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5 \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Etapa 11.2.3

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$\frac{5 \cdot \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Etapa 11.2.4

Reescreva $\csc (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2} \sin (5 x)$

Etapa 11.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Etapa 11.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Etapa 11.2.7

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Etapa 11.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Etapa 11.2.9

Combine $\sin (5 x)$ e $\frac{2}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (5 x) \cdot 2}{\sin^{2} (2 x)}$

Etapa 11.2.10

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Etapa 11.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.1

Separe as frações.

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Etapa 11.3.2

Converta de $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ em $\cot (2 x)$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Etapa 11.3.3

Divida $5 \cos (5 x)$ por $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Etapa 11.3.4

Fatore $\sin (2 x)$ de $\sin^{2} (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin (2 x) \sin (2 x)}$

Etapa 11.3.5

Separe as frações.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)})$

Etapa 11.3.6

Reescreva $\frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$ como um produto.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Etapa 11.3.7

Escreva $\sin (5 x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Etapa 11.3.8

Simplifique.

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Etapa 11.3.8.1

Divida $\sin (5 x)$ por $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Etapa 11.3.8.2

Converta de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ em $\csc (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Etapa 11.3.9

Separe as frações.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Etapa 11.3.10

Converta de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ em $\csc (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Etapa 11.3.11

Divida $2$ por $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Etapa 11.3.12

Multiplique $2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x))$ .

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Etapa 11.3.12.1

Eleve $\csc (2 x)$ à potência de $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc (2 x)) \sin (5 x))$

Etapa 11.3.12.2

Eleve $\csc (2 x)$ à potência de $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc^{1} (2 x)) \sin (5 x))$

Etapa 11.3.12.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 {\csc (2 x)}^{1 + 1} \sin (5 x))$

Etapa 11.3.12.4

Some $1$ e $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x))$

Etapa 11.3.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$