Cálculo Exemplos

$f (x) = {(5 x + 7)}^{2} (e^{x})$

Etapa 1

Reescreva ${(5 x + 7)}^{2}$ como $(5 x + 7) (5 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 7) (5 x + 7) e^{x}]$

Etapa 2

Expanda $(5 x + 7) (5 x + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x + 7) + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Etapa 3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Etapa 3.1.4

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Etapa 3.1.6

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 49) e^{x}]$

Etapa 3.2

Some $35 x$ e $35 x$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 x^{2} + 70 x + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 6.2

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25 x^{2}$ em relação a $x$ é $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 6.4

Multiplique $2$ por $25$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 6.5

Como $70$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $70 x$ em relação a $x$ é $70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 6.7

Multiplique $70$ por $1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 6.8

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + 0)$

Etapa 6.9

Some $50 x + 70$ e $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + e^{x} \cdot 70$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Mova $70$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + 70 \cdot e^{x}$

Etapa 7.3.2

Some $70 x e^{x}$ e $e^{x} (50 x)$ .

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Etapa 7.3.2.1

Mova $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 50 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

Etapa 7.3.2.2

Some $70 x e^{x}$ e $50 x e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

Etapa 7.3.3

Some $49 e^{x}$ e $70 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$

Etapa 7.5

Reordene os fatores em $25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$