Cálculo Exemplos

$6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$

Etapa 1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 6 e^{8 x} + 5$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 e^{8 x} + 5$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 e^{8 x} + 5$ .

$6 (2 (6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 ((6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 e^{8 x} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 3.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 e^{8 x}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $8 x$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $8 x$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.2

Multiplique $8$ por $6$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.4

Multiplique $48$ por $1$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + 0)$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Some $48 e^{8 x}$ e $0$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x})$

Etapa 5.6.2

Multiplique $48$ por $12$ .

$576 (6 e^{8 x} + 5) e^{8 x}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(576 (6 e^{8 x}) + 576 \cdot 5) e^{8 x}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$576 (6 e^{8 x}) e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Etapa 6.3

Combine os termos.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $6$ por $576$ .

$3456 e^{8 x} e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $e^{8 x}$ por $e^{8 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.2.1

Mova $e^{8 x}$ .

$3456 (e^{8 x} e^{8 x}) + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Etapa 6.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3456 e^{8 x + 8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Etapa 6.3.2.3

Some $8 x$ e $8 x$ .

$3456 e^{16 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Etapa 6.3.3

Multiplique $576$ por $5$ .

$3456 e^{16 x} + 2880 e^{8 x}$