Cálculo Exemplos

$\arctan (\frac{y}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{y}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

Combine frações.

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Etapa 2.2.1

Combine $y$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Combine $\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{y x^{- 2}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y}{(1 + {(\frac{y}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{y}{(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{y}{1 x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 3.3.3.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$