Cálculo Exemplos

$\arctan (x e^{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} {(e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{x \cdot 2}} (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 5.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 5.3

Reordene os fatores de $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$ .

$(x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Etapa 5.4

Multiplique $x e^{x} + e^{x}$ por $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Etapa 5.5

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x} + e^{x}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Etapa 5.5.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Etapa 5.5.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (x + 1)}{1 + x^{2} e^{2 x}}$