Cálculo Exemplos

$\arctan (\frac{x}{y})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \frac{x^{2}}{y^{2}})}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{1}{y + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Etapa 3.3.2

Combine $y$ e $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y^{2}}}$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $y$ de $y x^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y^{2}}}$

Etapa 3.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y \cdot y}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y \cdot y}}$

Etapa 3.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + \frac{x^{2}}{y}}$

Etapa 3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.1

Para escrever $y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{x^{2}}{y}}$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{y \cdot y + x^{2}}{y}}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y}}$

Etapa 3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$