Cálculo Exemplos

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{9}{x}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{9}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{9}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{x}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.6

Combine $- 9$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.7

Combine $\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.8

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arctan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

Etapa 3.6

Combine $- 3$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

Etapa 3.7

Combine $\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

Etapa 3.8

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5

Combine os termos.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{81}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.4.2

Divida $81$ por $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.5.7

Combine $\frac{9}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 4.5.8

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.5.8.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 4.5.8.2

Divida $9$ por $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Etapa 4.5.9

Para escrever $- \frac{9}{x^{2} + 81}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Etapa 4.5.10

Para escrever $- \frac{3}{x^{2} + 9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Etapa 4.5.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.5.11.1

Multiplique $\frac{9}{x^{2} + 81}$ por $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Etapa 4.5.11.2

Multiplique $\frac{3}{x^{2} + 9}$ por $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

Etapa 4.5.11.3

Reordene os fatores de $(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.5.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.6

Reordene os termos.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 4.7.1.1

Fatore $- 3$ de $- 9 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.1.2

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.4

Some $x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.5

Some $81$ e $27$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.6

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 108$ .

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Etapa 4.7.6.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.6.2

Fatore $4$ de $108$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.6.3

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot 27$ .

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.7.7

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$