Cálculo Exemplos

$\arctan (\frac{6 x}{5})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{6 x}{5}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $\frac{6}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} (\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{6}{5 (1 + \frac{{(6 x)}^{2}}{5^{2}})}$

Etapa 3.2

Aplique a regra do produto a $6 x$ .

$\frac{6}{5 (1 + \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}})}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6}{5 \cdot 1 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 3.4.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 3.4.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{25}}$

Etapa 3.4.4

Combine $5$ e $\frac{36 x^{2}}{25}$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $36$ por $5$ .

$\frac{6}{5 + \frac{180 x^{2}}{25}}$

Etapa 3.4.6

Cancele o fator comum de $180$ e $25$ .

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Etapa 3.4.6.1

Fatore $5$ de $180 x^{2}$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

Etapa 3.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.6.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 (5)}}$

Etapa 3.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 \cdot 5}}$

Etapa 3.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{5 + \frac{36 x^{2}}{5}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5}$

Etapa 3.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

Etapa 3.6.2

Combine $5$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

Etapa 3.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

Etapa 3.6.4

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 25}{5}}$

Etapa 3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$

Etapa 3.8

Multiplique $6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$ .

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Etapa 3.8.1

Combine $6$ e $\frac{5}{36 x^{2} + 25}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{36 x^{2} + 25}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{30}{36 x^{2} + 25}$