Cálculo Exemplos

$9 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + \sqrt{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{3}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{3} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$27 x^{2} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$27 x^{2} - \frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$27 x^{2} - 2 (\frac{2}{3}) x + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 3.4

Combine $- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$27 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 3.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$27 x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 3.6

Combine $\frac{- 4}{3}$ e $x$ .

$27 x^{2} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$