Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{a}{x})}^{x}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{a}{x})}^{x}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + a}{x})}^{x}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(\frac{x + a}{x})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Etapa 3

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Etapa 4

Reescreva $x \ln (\frac{x + a}{x})$ como $\frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{a}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.6

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.5.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + a \cdot 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.5.2.1

Divida $1 + a \cdot 0$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.5.2.2

Multiplique $a$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.5.2.3

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.5.2.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x + a}{x}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + a}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + a}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x + a}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + a} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $\frac{x}{x + a}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.5

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + a$ e $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + a] - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + a$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [a]) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.8

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.9

Some $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.10

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + a} \cdot \frac{x - (x + a)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.13

Multiplique $\frac{x}{x + a}$ por $\frac{x - (x + a)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{(x + a) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.14.1

Fatore $x$ de $(x + a) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{x (x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.14.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + a))}{x (x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.14.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + a)}{(x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15

Simplifique.

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Etapa 5.3.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - a}{(x + a) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.15.3.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.3.2

Subtraia $a$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.4

Combine os termos.

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Etapa 5.3.15.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1} x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1} x^{1} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{1 + 1} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.4.4

Some $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.5

Fatore $x$ de $x^{2} + a x$ .

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Etapa 5.3.15.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.5.2

Fatore $x$ de $a x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15.5.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x a$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.16

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Etapa 5.3.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}}$

Etapa 5.3.18

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} \cdot - 1 x^{2}}$

Etapa 5.5

Combine os fatores.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\frac{a}{x (x + a)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}}$

Etapa 5.5.3

Combine $\frac{a}{x (x + a)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}}$

Etapa 5.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $x$ de $a x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x a x}{x (x + a)}}$

Etapa 5.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x a x}{x (x + a)}}$

Etapa 5.6.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}}$

Etapa 6

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}}$

Etapa 7

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}}$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}}$

Etapa 8.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}}$

Etapa 8.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}}$

Etapa 8.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}}$

Etapa 8.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}}$

Etapa 8.7

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{a \frac{1}{1 + a \cdot 0}}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $a$ por $0$ .

$e^{a \frac{1}{1 + 0}}$

Etapa 10.1.2

Some $1$ e $0$ .

$e^{a \frac{1}{1}}$

Etapa 10.2

Divida $1$ por $1$ .

$e^{a \cdot 1}$

Etapa 10.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$e^{a}$