Cálculo Exemplos

$f (x) = (1 + 4 x^{2}) \arctan (2 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 + 4 x^{2}$ e $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3.6

Multiplique $1 + 4 x^{2}$ por $1$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 3.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 (2 x))$

Etapa 3.12

Multiplique $2$ por $4$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (8 x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reordene os termos.

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $1 + 4 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$2 + 8 x \arctan (2 x)$