Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Etapa 1.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Etapa 1.1.3

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $2^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2^{x} \ln (2)}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{2}{\ln (2)}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Etapa 3.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Etapa 3.1.3

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $2^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x} \ln (2)}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{\ln (2)}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{2^{x}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ .

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Etapa 6.1.1

Multiplique $\frac{2}{\ln (2)}$ por $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2) \ln (2)} \cdot 0$

Etapa 6.1.2

Eleve $\ln (2)$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot 0$

Etapa 6.1.3

Eleve $\ln (2)$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot 0$

Etapa 6.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{\ln^{2} (2)} \cdot 0$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{2}{\ln^{2} (2)}$ por $0$ .

$0$