Cálculo Exemplos

$f (x) = (10 - 5 x) e^{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 10 - 5 x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(10 - 5 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [10 - 5 x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [10 - 5 x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 3.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (- 5 \cdot 1)$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 5$

Etapa 3.6.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$(10 - 5 x) e^{x} - 5 \cdot e^{x}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 e^{x} - 5 x e^{x} - 5 e^{x}$

Etapa 4.2

Subtraia $5 e^{x}$ de $10 e^{x}$ .

$- 5 x e^{x} + 5 e^{x}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$- 5 e^{x} x + 5 e^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores em $- 5 e^{x} x + 5 e^{x}$ .

$- 5 x e^{x} + 5 e^{x}$