Cálculo Exemplos

$\cos (\arctan (2 x))$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (2 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, 2 x)$ . Portanto, $\cos (\arctan (2 x))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}]$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 (x))}^{2}}}]$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}}]$

Etapa 1.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}]$

Etapa 1.3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ como ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3.4

Reescreva $\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.5

Multiplique os expoentes em ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 1.3.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 1.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 4 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 7.2

Combine ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 7.3

Mova ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 11

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 12.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 12.3

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Etapa 16

Combine frações.

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Etapa 16.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Etapa 16.2

Combine $- 2$ e $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Etapa 16.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Etapa 16.4

Combine $\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 16.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$